Топологическая инвариантность

Таракан воспринимает человека как злой и коварный ветер, который несет смерть и может настигнуть, если от него убегать по прямой. У таракана есть реснички в корме, которые могут фиксировать силу и направление малейшего дуновения. Это дает таракану шанс скрыться от ветра-убийцы. Таракан использует хаос, чтобы обмануть злобный интеллект, которым наделен ветер.

Убегать от ветра означает для таракана бежать в абсолютно случайно выбранном направлении, абсолютно непредсказуемо для ветра, но со временем постепенно удаляясь от его источника. Поэтому первое движение таракана в ответ на ветер может быть не от, а навстречу его источнику. А группа тараканов брызнет в абсолютно разные стороны от занесенного над ней сапога. В то же время, все стратегии убегания тараканов от ветра будут топологически инвариантны в пространстве фазовых состояний системы ветер и таракан. Попытаюсь объяснить, что это такое и как такое возможно.

Хаос на бытовом языке — синоним беспорядка. Для математиков и других ученых, которые его изучают, хаос — это полный порядок, но настолько сложный, что его невозможно отличить от полного беспорядка, где главенствует реальная случайность. Определение “реальная” в данном случае важно потому, что в различных программах и алгоритмах, которые имитируют случайность, мы имеем дело не с реальной, а с псевдо-случайностью, которая имеет ограниченную сложность.

Например, мы не можем подбрасывать монету бесконечное число раз, чтобы сгенерировать бесконечный ряд случайных чисел. А конечный ряд, сколь бы длинным он не был, должен обязательно повториться рано или поздно. Для обычного человека существенной разницы нет, но для математиков, которые постоянно имеют дело с бесконечностью, она огромна. Гениальный “марсианский” математик Джон фон Нейман, построивший первый компьютер, создавший математическую основу квантовой механики, теорию игр и теорию клеточных автоматов, предлагал учитывать этот фактор. А я предлагаю учитывать его мнение потому, что доверяю его авторитету.

Некоторые оппоненты призывали меня в дискуссиях не ссылаться на авторитеты. А как же без авторитетов? Самому быть авторитетом во всем? Нет уж, голубчики вопрос не в том, чтобы не ссылаться на авторитеты, а в том, чтобы правильно выбирать авторитеты, которым следует доверять. Прочитав эту главу, вы поймете, как это можно сделать. Все авторитеты, на которых ссылаюсь я, подобраны по принципу инвариантности топологии их образа мышления. Но к этому мы вернемся чуть позже.

Математики уже давно обратили внимание на странную особенность поведения простых (для них, сам я ни одного не решил в своей жизни) логарифмических уравнений по мере увеличения числа их параметров. Выдающийся французский математик Анри Пуанкаре, не менее гениальный чем фон Нейман, в конце 19-го века решил точно рассчитать орбиты трех небесных тел относительно друг друга. С орбитами двух тел справился еще Ньютон на три столетия раньше. Десятилетия и сотни страниц формул спустя после начала своей работы Пуанкаре вынужден был признать поражение. Формулы оставались простыми и однозначными (инвариантными по другому), но сложность решения нарастала столь стремительно, что Пуанкаре понял, что ему просто не хватит жизни, чтобы даже приблизится к решению задачи.

С тех пор появились компьютеры и новые способы решения задачи с орбитами трех небесных тел и более, но все они давали и дают приблизительное, а не абсолютно точное решение задачи, поставленной Пуанкаре. Более того, наблюдения в реальном мире показывают, что орбиты планет действительно вибрируют. Планеты не движутся как поезда по рельсам, то есть инвариантно. Их орбиты варьируются, но только в пределах определенного коридора значений, а не как попало. Границы коридора задают инвариантные значения. По большому счету это и есть пример топологической инвариантности в реальном, физическом мире.

Геометрия фазовых состояний систем позволила визуализировать топологически любой процесс. Если мы возьмем, например, три параметра: температуру воздуха, его влажность и концентрацию в нем СО2 — и начнем измерять их через равные промежутки времени, то каждое измерение будет соответствовать определенной по времени фазе состояния атмосферных параметров в точке измерения. Каждую фазу можно заносить в таблицу в виде колонки цифр, а можно построить трехмерное пространство с осями координат: температура, влажность, концентрация СО2, а каждое фазовое состояние отмечать точкой в этом пространстве. Тогда мы сможем увидеть орбиту, по которой движется система, переходя из одного фазового состояния в другое.

Если фазовые состояния системы изменяются циклически, то и ее орбита в фазовом пространстве будет циклической, наподобие орбит планет. При этом, если данные измерений в каждом цикле не будут абсолютно идентичны, то и орбита будет флуктуировать — варьироваться. Если вариации орбиты будут всегда укладываться в пределы определенного граничными параметрами коридора, то все прохождения системы по орбите ее фазовых состояний будут топологически инвариантны. Таким образом, топологическая инвариантность дает бесконечное множество вариаций, бесконечную вариативность, но в пределах коридора, ограниченного инвариантными значениями.

Это только один из видов сложности, с которыми приходится жить ученым. Они придумали термины метастабильность и почти периодические системы для того, чтобы описать этот феномен. По моему, пока все просто)

Удивительно другое. Так ведут себя не только реально существующие в мире системы, в которых можно предположить наличие реальной случайности, но и математические модели, в которых каждый шаг системы в фазовом пространстве четко описывается однозначными математическими уравнениями с тремя или более неизвестными. Такие системы с тремя или более параметров называются многомерными. Одномерные или двумерные системы, в отличие от многомерных, абсолютно инвариантны. В них господствует полный порядок.

В многомерных системах господствует хаос. Но (внимание!) в топологически инвариантных системах, ограниченных не более чем двумя параметрами, существует возможность перехода с уровня многомерного хаоса на уровень полного двумерного порядка. Топологическая инвариантность позволяет просто пренебречь вариативностью флуктуаций внутри канала. Чтобы это понять, достаточно представить себе ровную плотную неподвижную нитку, которая под микроскопом состоит сплошь из постоянно шевелящихся как червяки тонюсеньких ворсинок.

Таким образом топологическая инвариантность творческого или вероятностного силлогизма Авиценны-Бейеса-Налимова находится в пределах категорической инвариантности силлогизма Аристотеля. “В одну и ту же реку нельзя войти дважды!” — так именно об этом говорил Гераклит 3500 лет назад, если верить Платону.

Пока все логично, по моему. Но тут вмешивается другой уровень сложности, открытый случайно метеорологом Эдвардом Лоренцом, который одним из первых начал использовать компьютерное моделирование для прогнозирования погоды. Однажды Лоренц ввел в компьютер данные измерений с точностью до шести знаков после запятой, а потом решил проверить результат с теми же данными, но компьютер округлил их до точности четырех знаков после запятой. Лоренц получил результат, не имеющий ничего общего с предыдущим результатом. Небольшая погрешеость начальных параметров привела к вопиющему различию в фазовых состояниях системы через относительно небольшой промежуток времени. Повторяю, это была компьютерная модель, состоящая из простых логарифмических уравнений, а не реальная погода. И эта модель улетела неизвестно куда при самом незначительном отклонении начальных параметров.

Так мирный хаос вырвался из оков топологической инвариантности, показал свое дикое лицо и вернул нас к вопросам, которые задавали себе еще древние греки.

“Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами Солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.”

Пушкин очень точно описал ситуацию с апориями Зенона. Геркулес никогда не догонит черепаху, говорил тот, ведь сначала ему предстоит преодолеть половину расстояния до черепахи, а до этого половину половины, а еще раньше половину половины половины и так до бесконечности. И вообще, продолжал Зенон, Геркулес и с места сдвинуться не сможет потому, что прежде, чем он сделает первый шаг, ему надо сделать полшага, а еще раньше пол полшага, а до этого пол пол пол и так до бесконечности. Но мы же как-то движемся. Вот же ходим, делаем шаги. Как?

Древние греки придумали атом, чтобы это объяснить. До атома все у них состояло из хаоса. А хаос был пустотой, выведенной из состояния симметрии Эросом, то есть, любовью. А когда симметрия пустоты нарушилась, появилась геометрия. Только геометрия в пустоте и никакой материи. Геометрия была непрерывной без конца и без начала и поэтом — неуловимой. Вот и порубили ее на куски вплоть до самого маленького — до атома. Вот померяем мы хаос до атома и превратится он в полный порядок. Перестанут улетать неизвестно куда компьютерные модели, а будут точно и однозначно считать будущее атома.

Нет, конечно, не было у древних греков компьютерных моделей. Да и атом при ближайшем рассмотрении оказался делим. Зенон ржал до слез на облаке рядом с Олимпом, наблюдая как рушится теория его оппонентов. Так ведь есть же квант! — воскликнул Макс Планк и вынул из хаоса свою знаменитую константу.

Присмотрелись ученые к тому, как ведут себя неделимые кванты — мельчайшие точечки-крупинки фазовой траектории, от которых должна была идти одна твердая и прямая нить в будущее, и офигели. По другому не скажешь. Оказалось, что кванты, сукины дети, повели себя как те самые извивающиеся червяки-ворсинки на графике фазовых состояний сложных систем. Точнее, они повели себя еще хуже. Так, что ученым до сих пор не хватает метафор, чтобы нам описать их поведение так, чтобы мы поняли. Один кот Шредингера чего стоит! А гениальный фон Нейман договорился до того, что квант может замереть на месте только если существо, наделенное сознанием, на него посмотрит. Отвернешься и ускачет к чертям. Вот те нате, материя в томате.

Но вернёмся к топологической инвариантности мышления, которая помогает однозначно отделять настоящих ученых от, может быть, даже очень умных и начитанных, но фальшивых. Позвольте мне закончить парой описаний того, как можно и как нельзя мыслить, которые оставили сами настоящие ученые: Альберт Эйнштейн, первооткрыватель кванта Макс Планк и создатель кибернетики гений-вундеркинд Норберт Винер.

“Прикосновение к тайне — это самое прекрасное, что мы можем испытать. Оно — источник всей настоящей науки и всего настоящего искусства. Человек, которому неведомо это ощущение, тот, кто неспособен больше замереть от удивления в восторженно трепете, все равно, что умер: его глаза закрылись навсегда”. Альберт Эйнштейн

“Меня иногда возмущает и всегда разочаровывает и повергает в уныние то упорное предпочтение, которое отдают ведущие современные учебные заведения вторичному знанию взамен оригинального, понятному и жидкому, которое можно легко растиражировать в миллионе копий, взамен всего нового и насыщенного, правильному, но ограниченному методу взамен поиска универсальной красоты и новизны везде, где бы они нам ни встретились”. Норберт Винер

“Перед лицом безгранично разнообразной и вечно молодой природы, простирающейся далеко за горизонты всей проницательности и всех наук, доступных человеку, человек должен всегда оставаться способным удивляться ребенком и постоянно готовиться к новым сюрпризам”. Макс Планк