Математика любви

Очерки о Московской математичесеой школе

Пролог

Великий французский теоретик архитектуры Эжен Виолле ле Дюк был странным реставратором старинных памятников. К Собору Парижской Богоматери, например, он приделал горгулий. Его манеру очень критиковали современники. Считали, что он портит памятники отсебятиной. А он отвечал, что памятник должен быть не копией, а исторической реконструкцией оригинала, чтобы посещающие его современные люди, испытывали те же переживания, что и его средневековые посетители.

Я тоже приделал пару горгулий к истории о Московской математической школе, которая за сравнительно короткий срок своего существования породила больше великих математиков, чем любое другое место на Земле. Поэтому воспринимайте все написанное как реконструкцию по ле Дюку. Я намерено не стал давать список литературы и ссылки на источники. В рассказе приведены реальные имена, даты и факты. Пытливому читателю не составит труда воспользоваться поисковиком, чтобы удовлетворить свой интерес к деталям.

Глава 1

Утро 17 августа 1924 года в маленькой рыбацкой деревушке Ба-сюр-Мер, приютившейся между скал на самой дальней оконечности полуострова Бретань, выдалось пасмурным. Но к вечеру немного распогодилось. Солнце стало чаще пробиваться сквозь разрывы быстро летящих облаков, превращая океан из серого в бирюзовый и обратно, как по волшебству.

Прилив в тот день был необычайно высок. Шторм пригнал массы воды и даже местные жители потянулись на берег отдаленной бухты, где обычно никого не было, чтобы посмотреть на прибой.

Расположившиеся на берегу зеваки увидели двух молодых мужчин, которые разбежались по песку, бросились в воду и поплыли в сторону открытого океана, преодолевая волны прибоя резкими короткими гребками. Обнаженные атлетические тела сверкали бронзой в океанской бирюзе. Зрители невольно залюбовались.

Тут поднялась одиночная волна невероятного размера. Она подхватила дерзких пловцов, закрутила, изломала их и ударила о берег. Александрову повезло. Его выбросило на узкий и длинный песчаный язык между массивами прибрежных скал. Он вскочил и бросился назад, в воду - искать друга. Зрители кричали и жестами показывали ему на обмякшее тело, покачивавшееся на поверхности воды спиной вверх совсем рядом, напротив скал. Мужчины бросились ему на помощь. Оказавшийся среди зевак врач из Нанта долго пытался вернуть к жизни бесчувственное тело. Безрезультатно.

Так в возрасте 26 лет трагически погиб Павел Урысон, восходящая звезда первой величины в мировой математике. Всего пару лет назад, отдыхая летом 1922 года на даче на Клязьме они с Александровым играючи решили фундаментальные вопросы нового раздела математики - топологии, и, по сути, создали его. Ведущие математики Европы встретили работу Урысона с восторгом.

В 1946 году на комиссии Академии Наук СССР кандидатуру Павла Александрова в академики представлял Андрей Колмогоров. На семь лет младше Александрова он уже был академиком и очень болел за своего старшего и очень близкого друга.

В момент, когда Колмогоров рассказывал о выдающемся вкладе Александрова в создание и развитие топологии, пожилой академик громко хмыкнул и сварливым голосом отчетливо прошептал: “Это не топология, а тоположество какое-то.”

Колмогоров подошел к своему учителю и смачно шлепнул его ладонью по щеке. Основатель московской математической школы Лузитании, а это был именно он, Николай Лузин, никак не отреагировал. “Вы первый академик после Ломоносова, который занимается мордобитием”, - сказал тогдашний президент Академии наук СССР Сергей Вавилов Колмогорову, пытаясь разрядить обстановку. Один из трех самых выдающихся математиков ХХ-го столетия густо покраснел.

Глава 2

“И поныне на Афоне
Древо чудное растёт,
На крутом зелёном склоне
Имя Божие поёт.

В каждой радуются келье
Имябожцы-мужики:
Слово — чистое веселье,
Исцеленье от тоски!

Всенародно, громогласно
Чернецы осуждены;
Но от ереси прекрасной
Мы спасаться не должны.

Каждый раз, когда мы любим,
Мы в неё впадаем вновь.
Безымянную мы губим
Вместе с именем любовь.”

Осип Мандельштам

«Я, Флоренский Павел Александрович, профессор, специалист по электротехническому материаловедению, по складу своих политических воззрений романтик Средневековья примерно XIV века...»

(слова, сказанные на допросе в ОГПУ)

Третий кризис основ математики разразился в конце XIX века совершенно неожиданно. Он был вызван открытием парадоксов в канторовской общей теории множеств. Поскольку теория множеств служит основой большинства разделов математики, обнаруженные парадоксы поставили под сомнение достоверность всей математической науки в целом.

В начале XX века “французская тройка” молодых ученых: Лебег, Бэр и Борель, предприняли попытку преодоления парадоксов, но французы скоро отступились. Эстафету от них приняла “русская тройка”: основатели Московской математической школы Дмитрий Егоров и Николай Лузин, а также их друг и сподвижник, православный священник, математик, философ и инженер Павел Флоренский, который вместе с Лузиным учился математике в Московском университете у Егорова.

“Русской тройке” удалось преодолеть препятствия, остановившие французов. “Виной” тому был православный мистицизм Егорова, Лузина и Флоренского. И, особенно, их увлечение имяславием (имябожеством), направлением православной религиозной мысли, особо распространившимся в начале XX века среди русских монахов Афонских монастырей.

Я не силен ни в богословии, ни в математике, чтобы понять и объяснить, как имяславие помогло разрешить кризис основ математики, но это было как-то связано с основным постулатом имяславцев о том, что имя божие есть бог, но бог не есть имя.

В 1913 году Святейший Синод объявил имяславие ересью и организовал военную операцию по насильственной депортации монахов - имяславцев с Афона. Группировка российских военных кораблей, как сказали бы сейчас, в составе канонерской лодки “Донец”, а также пароходов “Царь” и “Херсон” с десантом из пяти офицеров и 118 солдат на борту блестяще справилась с поставленной задачей. Солдатиков, правда, чтобы они подняли руку на безоружных монахов, пришлось слегка подпоить. Но уж потом они раззадорились. Поливали смирно стоявших монахов из брандспойтов, гнали штыками, лупили прикладами и сапогами. Срывали рясы. Топтали и разламывали иконы.

“К каким дальнейшим бедствиям это приведет Россию, это ведает один лишь Бог; одно лишь нам известно, что отступление от истинных догматов навлекало на страну и на народ великий гнев Божий и тяжкие кары, от коих да избавит Царствие Господь”, писал про последствия изгнания имяславцев с Афона один из их лидеров, иеросхимонах Антоний (Булатович) летом 1914 года.

Всего через пару месяцев отец Антоний, в прошлом “лихой гусарский офицер”, по выражению Николая II, исследователь Эфиопии и военный советник ее короля, решивший постричься в монахи после разговора с Иоанном Кронштадтским, пошел военным священником на фронт Первой мировой войны. Его пророчество уже начинало сбываться…

Глава 3

“Видите ли, атака на Лузина с целью изгнать его и освободить место для Александрова началась не вчера. Я оказался замешан в этой истории потому, что “моя” наука была названа бесполезной и буржуазной по контрасту с такой пролетарской и полезной наукой как топология. Ведь, первая была наукой Лузина, а вторая - наукой Александрова. Любопытно, что Александров, как и Урысон, чьи бумаги он унаследовал, начал с того же самого места, где остановился я. Только с одним отличием: если Урысон всегда ссылался на меня, то Александров этого никогда не делает, видимо, потому, что он должен теперь плохо отзываться обо мне в своей борьбе против Лузина”.

Анри Лебег, один из великой тройки французов, бросивших вызов парадоксам теории множеств

После ареста и гибели Егорова Лузин понимал, что дни его свободы или даже жизни сочтены, и старался вести себя осторожно. Но он и подумать не мог, что рутинный визит в тригонометрический класс средней общеобразовательной школы с откровенно слабыми учениками, будет превращен Кольманом в ловушку. На вопрос: “Как вы оцениваете качество подготовки учеников?” - Лузин ответил вежливо и рассеянно: “Вполне достойно, вполне”.

Передовица в “Правде” обвинила Лузина во вредительстве именно на основе этих нечаянно брошенных слов. Мехлис, тогда главный редактор “Правды”, дал команду “фас” с подачи Кольмана. С согласия Сталина была создана комиссия по расследованию преступной деятельности Лузина под председательством Кржижановского. Александров и его младший и тогда уже самый сердечный друг Колмогоров нападали на учителя особенно неистово. Они ставили ему в вину публикации на Западе самых серьезных его работ раньше, чем в СССР, а также его контакты с “французским трио” математиков, у которого московская школа приняла эстафету решения парадоксов теории множеств. Главной “уликой” была связь с Борелем, который выполнял работы для военного ведомства Франции. Но грязью забрызгали и Лебега.

“Суслин и только Суслин открыл А-множества. Он никогда не говорил, что назвал их в мою честь”.

Павел Александров, 1936 год

“Именно тогда Суслин предложил назвать решение, которое я нашел, А-решением, а множества, которые из этого решения вытекали, А-множествами в мою честь по аналогии с Б-множествами, открытыми Борелем.”

Павел Александров, 1979 год.

Среди обвинений в воровстве Лузиным открытий у своих учеников всплыла и история Михаила Суслина, одного из самых талантливых и, возможно, самого талантливого ученика Лузина, который умер от тифа в 1919 году в возрасте 25 лет. Александров обвинял Лузина в том, что тот присвоил открытие Суслиным А-множеств, которое стало величайшим прорывом в развитии теории множеств. (Самому Александрову после первого нечаянного успеха теория множеств оказалась не по зубам.)

Лузин возражал, что именно он сделал все, чтобы сохранить приоритет открытия за Суслиным и даже предложил переименовать А-множества во множества Суслина. Так оно и осталось, хотя Александров, уверенный в том, что его показания 1936 года никогда ее всплывут, впоследствие неутомимо утверждал, что открыл А-множества, на самом, деле лично он.

Ком обвинений неумолимо рос. Лузин стал уже агентом не только французской разведки, но и немецкой, в которую его завербовал лично Гитлер во время их якобы имевшей место встречи в Австрии. Шел 1936 год и такие обвинения при всей их несуразности могли означать уже только один исход: арест и расстрел.

На последнем заседании комиссии Кржижановский, показав пальцем вверх, заявил: “Нам разъяснили, что обвинения во вредительстве и предательстве с Лузина надо снять. Рекомендовано вынести Лузину строгий выговор за деятельность, порочащую высокое звание советского ученого, и освободить его со всех административных должностей. Прения окончены”. Лузин остался жив и на свободе, сохранил право преподавать и работать по специальности, а также место в академии наук. Дорога для административного роста дарования Александрова была расчищена.

Но не совсем. Лузин намертво заблокировал избрание своего излишне амбициозного, но не слишком чистоплотного ученика в академию наук. Александров стал академиком только в 1953 году, через три года после смерти Лузина.

Но что же все-таки произошло с “делом Лузина” в 1936? Петр Капица написал письмо Молотову. Тот вернул письмо отправителю за ненадобностью, но копию Сталину передал. Там были такие слова: “Ньютон, давший человечеству закон тяготения, был религиозный маньяк. Кардан, давший корни кубического уравнения и ряд важнейших открытий в механике, был кутила и развратник. Что бы Вы с ними сделали, если бы они жили у нас в Союзе?” Лузин не опасен, а его талант может работать на благо СССР, отвечал Капица далее сам на свой вопрос.

Одного заступничества Капицы было, разумеется, мало. Что же было ещё? Известно, что Сталин считал Кольмана эгоистичным мелким интриганом. Вероятно, вождь народов не захотел становиться игрушкой в руках таких как Кольман, и решил не поощрять инициативы зарвавшихся товарищей снизу. “Кольманы” должны были выполнять его распоряжения, а не проталкивать через него выгодные им решения.

Бывший австро-венгерский подданный, осевший в России после после плена в 1915 году и ставший красным командиром в гражданскую, Эрнест Кольман не получил выгоды от дела Лузина также, как и раньше от дела Егорова, но остался полезным для Сталина кадром. Только в 1948 году он снова зарвался, разыскивая врагов народа у себя на родине, в Чехословакии. Готвальд пожаловался Сталину. “Он же советский гражданин, - ответил вождь народов, - присылайте его к нам. Мы его быстро успокоим”.

Кольмана арестовали и этапировали в СССР, где он без суда и следствия отсидел в тюрьмах Лубянки и Лефортово три с половиной года. Потом его освободил бывший начальник Хрущев. В 1976 году Кольман стал “невозвращенцем”, попросил политического убежища в Швеции. Написал открытое письмо Брежневу, обличающее отсутствие прав и свобод в СССР.

Александров и Колмогоров счастливо жили на общей даче в Комаровке на Клязьме. Часто купались абсолютно голыми в реке, смущая соседок. Сами не смущались. Зачем?

Глава 4

“…Между нами есть ученый муж из России, который написал мемуар величайшей важности. Не задолго ещё мы считали бы математический мемуар на русском языке явлением необыкновенным, но наука подвигается вперёд и успехи России изумительны”.

Джон Гершель, Британская математическая ассоциация, 1842 год.

Николай Дмитриевич Брашман родился в Моравии в еврейской купеческой семье. Окончил Венский университет в 1821 году и в 1823 году приехал в Санкт-Петербург. В 1839 году после 16 лет жизни и работы в Санкт-Петербурге, Казани и, наконец, в Москве, принял присягу на подданство России. Так что Гершель вполне обоснованно назвал Брашмана россиянином.

Переезду Брашмана в Россию способствовала его работа преподавателем в доме князя Яблоновского во Львове. А получил он эту работу исключительно потому, что однажды в Вене у него остановились часы и он опоздал на обед в дом, куда был приглашен. Пошел обедать в гаштет и там встретил знакомого, который рассказал, что Яблоновский ищет преподавателя. Брашман попросил своего университетского профессора Литова рекомендовать его Яблоновскому. Был рекомендован и получил место. Если бы не остановившиеся часы, не быть выдающейся математической школе в России. Эффект бабочки, не иначе.

“Вы лелеяли их ках своих родных детей, ваш дом был их домом, ваш стол их столом, ваши книги принадлежал им; в нужде и в неудаче они постоянно находили в вас совет и опору. Таким образом действовали вы в продолжении сорока лет, и результаты вашей деятельности соответствуют вашим стараниями: вы образовали рассадник молодых ученых, которым пользовались и пользуются почти все pyccкие университеты; и в петербургском университете математические науки преподаются вашим ученикам и петербургская академия наук получила­ своих академиков - математиков из лиц образовавшихся в вашем доме, под вашим руководством; один из них член парижской академии наук”, - говорили коллеги по математическому факультету, выступая на обеде, посвященном прощанию Брашмана с Московским университетом после 30 лет работы в нем. Пафнутий Чебышев, учитель Ляпунова и Маркова в Петербурге, и Николай Бугаев, учитель Егорова и Лузина в Москве, оба были учениками Брашмана.

Покинув университет, Брашман не расстался с математикой и основал в 1964 году Московское математическое общество как кружок преподавателей математики, которые раз месяц собирались у Брашмана дома вплоть до его смерти в 1866 году. Первый номер, основанного Брашманом Московского математического вестника этого общества, вышел уже посмертно тоже в 1866.

“В высшей степени снисходительный к слабостям других, он был беспощадным карателем той бездарности, которая кривыми путями старается проложить себе­ дорогу: для приобретения его расположения был один
только путь, существовала одна только рекомендация — даровитость”, - было написано в биографии Брашмана, опубликованной в первом номере вестника.

Наверное, эти слова можно сделать эпиграфом к деятельности всей, основанной им математической школы в России. Ведь это был ее основополагающий принцип.

Могила Брашмана не сохранилась. Он был похоронен на кладбище Даниловского монастыря, которое было снесено в 1931 году. В том же году, когда Кольман был назначен главой Московского математического общества под угрозой его роспуска. Не знаю как вы, а я усматриваю в этом символ.

Глава 5

Наш дачный поселок и соседнюю деревню отделяет от Учинского лесопарка полоса полей, разрезанных березовыми аллеями. Когда, несколько десятилетий назад, на полях выращивали клубнику, они были оборудованы стационарной системой полива. Река Серебрянка была перегорожена плотиной с воротами, чтобы избежать перелива. А насосная станция, расположенная на берегу образовавшегося пруда качала воду по подземным трубопроводам к поливальным установкам на полях.

Когда, мы купили здесь дачу в 1999 году, металлические остовы поливалок еще кое-где торчали на полях. А бетонные колодцы-коллекторы там до сих пор встречаются. Соседи-старожилы с упоением рассказывали нам, как они в детстве воровали клубнику на полях, которые охраняли наряды конной милиции.

Сейчас почти никого из очевидцев клубничного изобилия нет в живых. Старожилы - мы потому, что помним как местные жители собирали одичавшую клубнику на полях в зарослях сорняков между соседней деревней и самозахваченными огородами у опушки леса.

Теперь на месте огородов стоят коттеджи. Их построил бывший местный олигарх на полях напротив деревни. Поля напротив нас ему не удалось вывести их сельхозугодий. Но у него была большая конюшня в лесу за полями на бывшей даче полярника Папанина, прославившегося тем, что он дрейфовал на льдине, а его спасала вся страна.

Несколько гектар леса неподалеку от реки Клязьмы были пожалованы Папанину за подвиг, а потом достались олигарху, жена которого любила лошадей. Олигарх построил для жены конюшню и попробовал возродить земледелие на полях - засыпал из навозом с конюшни и засеял смесью овса и ячменя.

Урожай с первого поля, напротив дачного поселка, даже удалось собрать. Навоз с других полей местные жители растащили быстрее, чем нанятые олигархом гастарбайтеры успели его разбросать из вываленных самосвалами куч. Олигарх летал над полями на вертолете, но это не помогло. Он ограничился тем, что стал косить на полях траву на сено там, где травы было больше, чем сорняков. Остатки клубники исчезли, но поля стали выглядеть зелено и ухожено. Местные жители, срезая путь, накатали по полям дороги.

Однажды весной, трупы олигарха и его жены, связанные вместе колючей проволокой, выловили из поливочного пруда, который олигарх пытался приватизировать, вызвав яростные протесты местных деревенских жителей, которые несколько раз в знак протеста перекрывали соседнее шоссе. Обслуга разбежалась. В лесу неделю выли и кричали оставшиеся без корма дикие звери, которых олигарх собрал изрядную коллекцию, объявив всем знакомым, что рысь или кабан - это лучший подарок. Потом зверей увезли. Поля остались бесхозными и стали зарастать высоченными, в рост человека, сорняками.

По весне сухостой из сорняков стали поджигать местные подростки. Поля полыхали особенно ярко в ночи. Горел кустарник вдоль березовых аллей, несколько раз занимались нижние ветви сосен на опушке леса. Дачники вызывали пожарных и пожарные машины дежурили на дорогах между полями ночью и тушили горящие поля днем.

В год, когда по России особо разгулялись лесные пожары, на поля выгнали трактор, который перепахал подступы к полям со всех сторон, создав нечто вроде контрольной полосы на госгранице. Пару лет полосы перепахивали вновь каждую весну. Потом забросили.

После гибели олигарха поля ожили лишь однажды, когда местное шоссе перекрыли для ремонта эстакады. В то лето по полям в пять рядов в клубах пыли или фонтанах грязи а зависимости от погоды ехали дачники: в пятницу-субботу - из Москвы, в воскресенье-понедельник - обратно.

С тех пор сорняки на раскатанных машинами полях успели отрасти. Теперь зеленых островков травы между ними не осталось совсем. Только толстые с руку стволы чертополоха и крапивы. Юридически поля стали городом и город хочет покрыть их малоэтажными многоквартирными домами и коттеджами. Хочет уже давно, но пока не может.

История полей вспомнилась мне, когда я дописывал самый свежий кусок как-то стихийно рождающейся у меня истории российской математической школы от Брашмана до Кольмана. Брашман поливал и удобрял клубнику - “даровитость”, беспощадно вырывая сорняки - “бездарность, которая кривыми путями старалась проложить себе дорогу”. А Кольман был именно таким сорняком. И очень агрессивным. Ведь он так рьяно взялся за дело против Егорова только потому, что хотел проложить себе дорогу на место главы Московского математического общества. Того самого, которое Брашман основал у себя на квартире.

Даровитость процветает и множится на хорошо ухоженном заботливыми руками требовательных учителей поле. Она долгие годы сосуществует с бездарностью на одном поле, уходя и мельчая, постепенно, но неотвратимо, выдавливаемая сорняками. Но даровитость уходит совсем, когда кривой путь бездарности становится сначала главным, а потом и единственным.

Глава 6

"Да, мой голубчик,- ухо вянет:
Такую, право, порешь чушь!"
И в глазках крошечных проглянет
Математическая сушь.
Широконосый и раскосый
С жестковолосой бородой
Расставит в воздухе вопросы:
Вопрос - один; вопрос - другой;
Неразрешимые вопросы...
Так над синеющим цветком,
Танцуя в воздухе немом,
Жужжат оранжевые осы.”

Андрей Белый, однокурсник Лузина и Флоренского по физмату университета

Ученики Лузина не могли подсмотреть ответы на задачи, которые он им ставил, в учебнике. Ведь Лузин ставил перед ними задачи, которые не смогли решить ведущие математики того времени. Ну и что, что студенты. Лузин помогал им как справочник и как оформитель. А потом подхватывал интересное решение и бурильных его дальше, дальше. Вглубь.

Александров обиделся на Лузина потому, что тот дал ему решать задачу, которая, как выяснилось через несколько десятилетий, не могла быть решена вообще. Александров так расстроился, когда у него не получилось, что на несколько лет забросил математику и отправился ставить пьесу Ибсена в местный театр в Могилеве. За Ибсена его арестовали сначала белые, а потом, красные. Он решил, что математика все-же не такое политическое дело, как театр и вернулся в университет к Лузину.

Там он начал рыть горизонтальную штольню под названием “топология”. Лузин сначала ругался и пытался образумить, а потом охладел. Его интересовали только те, кто углублял основной ствол шахты. А кто и сколько угля наковырял в боковых забоях, его не волновало ничуть.

В этом был и смысл его комментария про “тоположество” в 1946 году. Это был упрек в выборе легкой темы, а не намёк на гомосексуальную связь между Александровым и Колмогоровым. А Колмогоров обиделся. Или нет? Ведь у Лузина ещё в студенчестве завязалась теснейшая мужская дружба с Флоренский, которого сейчас провозглашают чуть ли не основателем русского ЛГБТ движения. И Колмогоров об этом должен был знать.

Самому Колмогорову повезло. Его горизонтальная штольня теории вероятности, вдруг резко пошла под уклон в сторону теории хаоса. И ему пришлось без устали копать вглубь. Но и результат научный оказался весомым.

Наш институтский преподаватель философии Хрустов тоже ставил перед нами, студентами, нерешённые задачи. Только они, как и положено философии, были изначально неразрешимыми. Хотя Хрустов считал, что решил одну из них.

Мне кажется, что Лузин догадывался, что задача, которую он поставил Александрову, заведомо неразрешима. И сделал это нарочно. Математическому таланту Александрова не хватало философской глубины. Ведь буквально накануне Александров нащупал решение очень серьезной задачи, но ни ему, ни Лузину не хватило буквально полшага, чтобы ее решить. Вот Лузин и попытался настроить Александрова на философское упорство. Не получилось.

У него не все и не всегда получалось. Вот и гениальный Суслин возгордился после публикации первой серьезной работы. Забил на науку болт. Лузин помешал Суслину получить непыльное место в Саратовском университете. Тот уехал в деревню к родителям-лавочникам откормиться. Шел голодный 19-й год. А тут тиф. И Суслина не стало. Его портрет с памятной надписью учителю стоял на столе у Лузина до конца жизни. Как напоминание. O бугаевском разрыве континуума. О геделевской неполноте наших знаний. И о том, что заполнить ее может только любовь.

Глава 7

Мы все интуитивно представляем себе, что такое бесконечность. Но так ли она проста? Бесконечна прямая, не имеющая ни конца, ни начала. Но бесконечно и число частей, на которые можно разделить любой отрезок этой прямой между двумя точками. Значит ли это, что бесконечности бывают разными? И что одна бесконечность может вмещать в себя другую? Если да, значит ли это, что одна бесконечность может быть больше другой, а другая - меньше?

Древнегреческий философ Зенон две с половиной тысячи лет назад сформулировал в своих апориях эти и некоторые другие парадоксы (противоречия) бесконечности, задав математиком работы на по сей день. Ахиллес, как утверждал Зенон, никогда не догонит черепаху потому, что пока Ахиллес прибежит в точку, где черепаха была, когда они начали движение, черепаха уже сдвинется из этой точки вперед хотя бы чуть-чуть. И так до бесконечности. Но и это не все. По большому счету Ахиллес никогда вообще не сдвинется с места. Ведь, чтобы пройти один шаг, Ахиллесу придется пройти полшага. А до этого еще пол-полшага. А еще раньше пол-пол-полшага. И так до бесконечности.

Немецкий математик Георг Кантор, родившийся в Петербурге, ввел в обиход математиков гипотезу континуума и понятие прерывистости. Так в конце девятнадцатого века появилась теория множеств Кантора, которая если и не привела к полному преодолению парадоксов Зенона, то, по крайней мере, как тогда казалось многим, приблизила математику к их преодолению.

Ага! - торжествующе воскликнул тогда в Москве выпускник духовной семинарии и московского университета (ученик Николая Бугаева, как и Егоров) математик Павел Некрасов, - прерывистость! - вот оно, математическое доказательство свободы воли, которого мы так давно ждали!

Не так быстро, - ответил ему из Петербурга атеист (ученик Пафнутия Чебышева) Андрей Марков и пошел доказывать непрерывность неопределенности. Так появились знаменитые цепи Маркова, в которых будущее не определяется прошлым, если дано настоящее. Игра в монополию - это классическая цепь Маркова, ведь в ней каждый следующий ход определяется новым броском костей, абсолютно не зависящим от результата предыдущего броска. Это не легенда. Марков сам утверждал, что страстно взяться за решение проблемы прерывистости его побудил именно вызов брошенный Некрасовым (или Кантором в интерпретации Некрасова). Развитие теории вероятности вышло на новый виток.

Создатель теории множеств Георг Кантор утверждал, что бесконечность реально существует. При этом, абсолютная бесконечность в его математическом представлении была тождественна богу в религиозных представлениях. Утверждение о реальности бесконечности, таким образом, становилось тождественно утверждению о реальности существования бога.

Французский математик Анри Пуанкаре принял теорию множеств Кантора, но с одной существенной оговоркой. В представлении Пуанкаре бесконечность существовала лишь потенциально. Возможно, не случайно, что рациональный позитивист Пуанкаре, как и атеист Марков, внес ключевой вклад именно в развитие теории вероятности, а не в развитие теории множеств. То есть, в прикладное, а не в фундаментальное решение вопроса о бесконечности.

После ускорения, которое развитию теории множеств придала московская математическая школа математиков-имяславцев, наступила пауза, заполненная выдающимися трудами по теории вероятности, пожалуй одного из самых гениальных пассажиров московской Лузитании - атеиста Андрея Колмогорова. Но теория множеств Кантора уже не давала покоя молодому австрийскому математику - восходящей звезде философии математики и убежденному лютеранину Курту Геделю. Его теоремы о неполноте прогремели в 1931 году как разрыв торпеды. Корабль аксиоматических доказательств получил пробоину, потащив за собой и алгоритмизацию - то есть всю прикладную науку. Оказалось, что простая арифметика, привычная нам с детства, базируется на не аксиоматических допущениях в отношении натуральных чисел. Что бы это ни значило, но звучит тревожно.

В последнем номере журнала Nature, посвященном искусственному интеллекту, была опубликована статья, где утверждалось, что машинное обучение и все его подразделы, использующие арифметику и теорию вероятности уже упираются в тупик теорем Геделя.

Я пока не представляю даже поверхностно суть нового витка развития математической мысли, но вижу отчетливо, как это развитие двигало вперед конструктивное противоречие между рациональной и мистической ветвями математической мысли. И как это противоречие становилось губительным, если его из плоскости математики перетаскивали в плоскость идеологии.

Благодаря Геделю, математики стали широко использовать аксиому выбора, сформулированную еще в начале века немецким математиком Эрнстом Зермело, но принятую тогда многими, особенно, так называемыми, конструктивными математиками в штыки по философским соображениям. “Функция выбора существует в конструктивной математике, потому что выбор подразумевается самим смыслом существования.” - писал после Геделя известный конструктивный математик Эррет Бишоп.

Выбор есть. А есть ли свобода воли? Вопрос, думаю, не праздный для будущего искусственного интеллекта и нас всех.

“Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами Солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.”

Александр Пушкин

Глава 8

“Когда отцу минуло десять лет, его посадили впервые верхом: и отправили по Военно-Грузинской дороге с попутчиком: в Москву; здесь устроили у надзирателя первой гимназии, в которой он стал учиться; жизнь заброшенного ребенка у грубого надзирателя была ужасна: ребенка били за неуспехи детей надзирателя, которых должен был готовить; отец же, хотя они были ровесниками и соклассниками; он молчал; и шел – первым (кончил с золотою медалью).”

Андрей Белый (сын Николая Бугаева)

Николай Васильевич Бугаев был настоящим основателем московской математической школы. Именно у него учились Егоров, Флоренский и Лузин (как и его сын - поэт и писатель Андрей Белый). Бугаев не был чистым математиком. Он видел связь математики с философией и психологией и не боялся исследовать эту связь. В выступлении на Первом международном конгрессе математиков в Цюрихе в 1897 году он представлял сформулированную им систематическую теорию разрывных функций и при этом говорил: “Разрыв - это проявление независимой индивидуальности и автономии”.

“Понятия о произволе и воле исключают друг друга. Произвольная воля есть выражение неуместное. Оно есть отрицание воли. Нет воли там, где деятельность носит на себе случайный характер, т. е. не имеет границ, плана и цели действия. Такая деятельность есть судорожная смена поступков. Самодурство и каприз – это болезни воли”, - говорил ровно 130 лет назад, выступая 4-го февраля 1889 на заседании Московского Психологического общества с докладом “О свободе воли”, Николай Васильевич Бугаев, основатель легендарной московской математической школы, учитель Дмитрия Егорова и Николая Лузина.

“К сожалению, - продолжал он, - понятие о свободе смешивают с понятием о произволе. Это ведет к большим недоразумениям. Чтобы избегнуть их, следует вопрос о свободе воли заменить вопросом о самостоятельности воли или вопросом об автономии каждой индивидуальности. Идея свободы неразлучна с идеею индивидуальности.”

Бугаев умер в 1903 году, не дожив до “большого недоразумения”, которое случилось в России в 1917. После прихода к власти большевиков философские рассуждения Бугаева и его сподвижников стали причиной объявления всей Московской математической школы черносотенной в потрясающей логике “больной воли”.

“Эта школа Цингера, Бугаева, Некрасова поставила математику на службу реакционнейшего „научно-философского миросозерцания“, а именно: анализ с его непрерывными функциями как средство борьбы против революционных теорий; аритмологию, утверждающую торжество индивидуальности и кабалистики; теорию вероятностей как теорию беспричинных явлений и особенностей; а всё в целом в блестящем соответствии с принципами черносотенной философии Лопатина — православием, самодержавием и народностью”.

Брошюра “На борьбу за диалектическую математику”, 1931 год

Арест Егорова и дело Лузина выглядят, таким образом, вполне последовательными и логичными шагами по разгрому черносотенной математики. Тем более, что Лузин продолжал “протаскивать” индивидуальность в царство революционной целесообразности под видом именования математических сущностей.

“Имя есть критерий индивидуальности”.

“Мы ни в коем случае не рассматриваем множество, составленное из одной точки, как простое, так как эта точка может быть получена в результате чрезвычайно сложной конструкции…”.

“Современное состояние математического анализа убедительно доказывает, насколько важно установить точное разграничение между математическими сущностями, которые рассматриваются как существующие, и другими, реальность которых лишь кажущаяся”.

Николай Лузин

Я нашел полный текст выступления Бугаева “О свободе воли” на сайте выдающегося педагога Бориса Михайловича Бим-Бада. А про труды Бориса Михайловича впервые прочитал пару лет назад в статьях Александра Васильевича Суворова, выдающегося слепоглухого ученого и педагога. Получается, что сегодня, после почти векового забвения, Бугаев философ и педагог оказался востребован ровно за то, за что большевики громили его философско-математическое мировоззрение. Лучше поздно, чем никогда.

“Что в имени тебе моем?
Оно умрет, как шум печальный
Волны, плеснувшей в берег дальный,
Как звук ночной в лесу глухом.

Оно на памятном листке
Оставит мертвый след, подобный
Узору надписи надгробной
На непонятном языке.

Что в нем? Забытое давно
В волненьях новых и мятежных,
Твоей душе не даст оно
Воспоминаний чистых, нежных.

Но в день печали, в тишине,
Произнеси его тоскуя;
Скажи: есть память обо мне,
Есть в мире сердце, где живу я…”

Александр Пушкин

Глава 9

Герои антиутопии Хаксли “О дивный новый мир” Ленина Крауни и Бернард Маркс живут в мире людей, которые молятся Форду, но часто путают его с Фрейдом, совокупляются как кролики, но размножаются в пробирках, дрессируют всех с младенчества по Павлову, но для страховки сидят на наркоте под названием “сома” до самой смерти. В русском переводе главную героиню зовут Ленайна. Соответствует правилам произношения, но меняет смысл.

Книга Хаксли увидела свет в 1931-м, в тот самый год, когда умер Дмитрий Федорович Егоров. Его организм не выдержал голодовки, которую он держал в тюрьме НКВД под Казанью в знак протеста против того, что тюремщики наказывали его за то, что он творил Иисусову молитву. Выдающийся русский математик, воспитавший целую плеяду звезд уже советской математики, был глубоко верующим человеком, последователем объявленного РПЦ ересью и запрещенного большевиками имяславия. Но он никогда не афишировал своих личных убеждений, поскольку считал свободу совести неотъемлемым суверенным правом каждого человека. Он и жил всегда по совести. И умер как узник совести.

До последней минуты жизни его неброская, но твердая убежденность не только бесила врагов, но и притягивала честных и совестливых людей. В его многочисленных биографиях везде написано, что Егоров умер в больнице в Казани, куда его привезли умирать под конвоем. Но это не так. Егоров умер в домашней постели у людей, которые были его идеологическими противниками, но разделяли идеалы чести и совести, которым всю жизнь прослужил и он.

«По своей идеологии проф. Чеботарев относится к реакционной части профессуры. Вследствие чего выдвижение проф. Чеботарева в действительные члены Академии наук — нежелательно».

Из характеристики ректора и секретаря парткома КГУ. Источник: Газета “Республика Татарстан”

В 1924 году Кольман начал атаку на Егорова с Московского инженерно-строительного института, где Егоров преподавал по совместительству. В университете позиции Егорова тогда были ещё непоколебимы. В МИСИ Кольман добился увольнения Егорова как “религиозного реакционера, который разлагающе влияет на студентов и путает математику с мистикой”.

Надо было найти замену Егорову. Выбор пал на Николая Чеботарева, молодого идеологически правильного ученого, атеиста, который в гражданскую воевал и читал лекции по математике красноармейцам в дивизии Чапаева.

Узнав, чье место ему предлагают занять, Чеботарев начал наводить справки. Знакомые в МИСИ рассказали, что Егорова уволили за религиозные убеждения. Чеботарев не был знаком с Егоровым лично, но был наслышан о научных достижениях и безупречной репутации этого человека. Жена Чеботарева Мария Смирницкая училась в это время в мединституте в Москве и возможность Чеботареву получить место в Москве была для молодой семейной пары идеальной.

Но, посоветовавшись с женой, Чеботарев отказался от прекрасной возможности, мотивируя отказ желанием жить в мире со своей совестью. Отказ был воспринят как идеологический демарш. Другого места для Чеботарева в Москве не нашлось. Он нашел временную работу в Одессе, а потом - постоянную - в Казанском университете. В Казани к нему присоединилась окончившая медицинский институт Мария.

Когда умирающего Егорова привезли в больницу в русском квартале Казани, его лечащим врачом оказалась Мария Смирницкая. Она подделала свидетельство о смерти Егорова и, когда убрали караул, вместе с мужем на больничной каталке перевезла Егорова к себе на квартиру. Помочь ему как врач она уже не могла, но решила обеспечить достойную смерть. Егоров умер на следующий день на руках у Марии со словами “Во имя твое спаси мя.”

Чеботарев организовал похороны Егорова на Арском кладбище, через аллею напротив гробницы великого русского математика Николая Лобачевского. Могила Егорова долго оставалась безымянной. Уже после войны ученик Чеботарева, тоже математик Морозов сумел добиться установки скромного надгробия.

“Враг-диавол не имеет никакой возможности даже и приступить к тому человеку, а не только вложить скверный помысел. Его опаляет Божественная сила имени Иисусова, как бы нестерпимый пламень. Не имея возможности приступить сам, он вооружает ненавистью людей и потому молитвенники, по большей части, как замечено, бывают гонимы и ненавидимы.”

Схимонах Иларион (Домрачев), основатель имяславия

Гонимы, да, но не только…

Глава 10

“После съезда Нина Карловна вернулась в Москву, где 15 июля на даче ее жизнь трагически оборвалась. Чем-то удрученная и задумчивая Нина Карловна была рассеяна и невнимательна на железнодорожных путях и попала под электричку.”

Виктор Виденский “К столетию со дня рождения Н.К.Бари”

“Много лет спустя, после смерти Лузина, закончив подготовку к изданию собрания его сочинений, Нина Бари покончит жизнь самоубийством, бросившись под поезд, как Анна Каренина. Только в случае с Бари это будет поезд московского метро”.

Лорен Грэхэм, “Имена бесконечности”.

Я не смог установить, чья версия гибели Нины Бари 15 июля 1961 года правильна, Виденского или Грэхэма, но по косвенным признакам получается, что прав Грэхэм. Слухи об особо тесных отношениях Лузина и Бари ходили давно. Когда в 1936 дело Лузина разбирала комиссия Кржижановского, Бари категорически отказалась участвовать в ее заседаниях. А кто-то из обвинителей Лузина бросил в упрек ему: “Она слишком привязана к вам, больше я ничего не скажу”.

Знакомые отмечали, что Бари впала в глубокую депрессию после смерти учителя. Но это не помешало ей 11 лет, не покладая рук, готовить к изданию его труды, к которым она написала сотни страниц комментариев петитом. Или именно в этом был смысл ее жизни после того, как Лузина не стало? Нам уже не узнать, наверное.

История Лузитании полна тайн. Их хранитель - Урысон, утонул в далекие 1920-е. Их создателя - Александрова, тоже давно нет в живых. Но некоторые тайны иногда приоткрываются сами при самых странных стечениях обстоятельств. Или мне это только кажется?

“Наш бог — Лебег,
Кумир — интеграл.
Рамки жизни сузим,
Так приказал нам
Наш командор Лузин.

...

Бэра бери, Бари”.

Слова из марша Лузитании, сочиненного (вероятно) Ниной Бари

“Бара, бара, бери, бери”.

Бразильский народный напев, положенный в основу современного шлягера

Происхождение названия математического кружка - тайного ордена “Лузитания” от фамилии его командора Лузина кажется очевидным. Но Лузин не зря придавал именам и именованию огромное значение. Со своей щепетильностью к приоритетам он бы никогда не позволил назвать кружок, у истоков которого стоял Егоров, в свою честь.

Версия происхождения названия от океанского лайнера “Лузитания”, потопленного немецкой подлодкой в 1915 году, тоже лежит на поверхности, но московская “Лузитания” получила название раньше, чем лайнер прославился, пойдя ко дну.

Третья версия, что “Лузитания” Лузина получила название от древнеримской провинции, располагавшейся на месте нынешней Португалии, тоже выдвигалась, но была мало чем подкреплена.

Найдя у Виденского строчку из марша “Лузитании” с упоминанием фамилий французского математика Бэра и Нины Бари, я забил ее в поисковую строку Гугла, мало на что надеясь. Высыпалась куча ссылок на современные музыкальные ролики, а Гугл вкрадчиво спросил, не хочу ли я заменить “Бэра” на “Бара?”

Я поставил первый попавшийся клип и вдруг ощутил, что именно на этот мотив должен был исполняться марш Лузитании. Конечно, это были зажигательные ритмы самбы и милонга, а не пафосные аккорды “Гаудеамус игитур!” Песня “Бара, бери” оказалась бразильской народной. А Бразилия, прежде, чем стать Бразилией, называлась Новая Лузитания. Первая португальская колония Новая Лузитания находилась на территории нынешней провинции Баха современной Бразилии. Оттуда и происходит “Бара, бери”.

Хотите почувствовать атмосферу московской Лузитании, семинары которой проходили в скованной морозом, гражданской войной и разрухой Москве в неотапливаемых аудиториях университета и, часто, на голодный желудок?

Послушайте Bara Bara Bere Bere в современном исполнении.

Нине Бари было 17 лет, когда она нашла где-то эту музыку для марша. Ходили упорные слухи, что это была она, хотя Бари и переводила стрелки на Бернштейна, а тот, в свою очередь, тоже открещивался от авторства. Теперь мы знаем почему.

Бари стала первой женщиной, окончившей Московский университет - основной факультет, а не специальные женские курсы. Как Лузину удалось сделать их всех звездами? “Для аспирантов было «негласно» установлено такое правило: если у аспиранта по теме экзамена есть самостоятельный результат, то спрашивают только по этому результату”, - вспоминал Михаил Лаврентьев, основатель Сибирского отделения Академии наук СССР и Новосибирского Академгородка. Естественно, все они предпочитали ставить и решать новые задачи, а не зубрить толстые учебники, пояснял он.

Когда весной 1921 года влюбившийся в Лузитанию влиятельный советский ученый и будущий полярник Отто Юльевич Шмидт выбил для лузитан вагон для поездки в гости к коллегам в Петроград, там уже начинались белые ночи. Естественно, лузитане пошли всей компанией гулять по Питеру и гуляли всю ночь до утра. Урысон закатал штаны так, что из под его длинного плаща были видны только голые ноги. Запахнул расстегнутый плащ и стал подбегать к прохожим, делая вид, что вот сейчас его распахнет и покажет все, что под ним. Иногда он подбегал к Нине и другим девчонкам и распахивал плащ перед ними. Те с визгом бросались врассыпную. Прохожие шарахались и смотрели неодобрительно. Лузитане смеялись до изнеможения.

Мамонтовка, февраль 2019 года

Эпилог

Неожиданно я встретил упоминание фамилий Бореля и Лебега в книге основателя кибернетики Норберта Винера “Человеческое отношение к человеческим существам”. Оказывается, Борель поставил, а Лебег успешно решил задачу по математическому обоснованию статистической механики, интуитивно открытой Уиллардом Гиббсом в развитие механики Ньютона.

Это решение, насколько я понимаю не будучи математиком, заключалось в развитии все той же теории множеств, над которой бились величайшие умы Московской математической школы. Лебег, между тем, как и Лузин, продолжал считать себя чистым математиком, решающим исключительно отвлеченные математические задачи. В 1920 году именно Винер первым успешно применил логарифм Лебега для решения чисто физической задачи - Броуновского движения.

Норберт Винер, который придумал кибернетику, был вундеркиндом. В 19 лет он защитил диссертацию. Он считал самым гениальным физиком Гиббса потому, что тот открыл, что существует не одна версия мира, в котором мы живём, а бесконечное множество версий. Все зависит от плотности распределения вероятностей. Чем маловероятнее версия, тем она интереснее. Бесспорные утверждения обладают нулевой информационной ценностью. Поэтому их можно вообще не обсуждать. Тогда со временем люди, как Гиббс, как “французская тройка”, как лузитане, открывают что-то новое, что опровергает казавшиеся бесспорными постулаты. Каждое такое ниспровержение основ открывает путь к бесценным россыпям сокровищ нового знания, которое обогащает науку на много веков вперед.

Мой любимый специалист по теории сложности Джеймс Кратчфилд однажды написал, что между порядком и хаосом находится способность человека к творчеству и привел слова Владимира Набокова, который уловил суть творчества как художник, но его картина получилась вполне научной: “Оказывается, в пространственном масштабе мира есть своеобразное деликатное место встречи между воображением и знанием, точка, к которой можно прийти, уменьшая большие вещи и увеличивая маленькие, и которая является поистине художественной”.

Дополнение от 18 июля 2019 года

Признаюсь, честно, что все мои попытки понять, в чем заключается суть диагонального аргумента Кантора, оказались тщетными. Тем более я не понял, какое противоречие увидел в аргументе Кантора Бертран Рассел, но он увидел и всполошил этим всю математическую общественность. Так начался кризис основ математики. Но без попытки объяснить сейчас потом придется еще труднее.

Пусть математики меня поправят, но Георг Кантор, как я понял, сформулировал аргумент, согласно которому для каждого бесконечного множества имеется еще большее бесконечное множество, которое включает в себя все его подмножества.

Позвольте, - возмутился Рассел, - но если представить себе бесконечное множество вообще всего, что только есть, то у него тоже есть какое-то еще большее множество! А что это за множество, товарищ Кантор? Уж не существование ли Бога вы тут нам протаскиваете в математику?

Успокойтесь, друзья, - вмешался выдающийся математик Гильберт, - давайте ка мы опишем всю математику языком аксиоматической формальной логики. И не будет там никаких противоречий, вот увидите. Борель, Бэр и Лебег во Франции, Егоров, Лузин и Флоренский в России стали копать теорию множеств. И докопались до доказательства диагонального аргумента Кантора. Именно эту задачу поручил Лузин Александрову. Александров не справился.

Справился Курт Гедель в 1931 году. Он заявил, что диагональный аргумент Кантора нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Математическое сообщество вздрогнуло даже не столько от наглости Геделя, сколько от продолжения. Простая арифметика, - заявил Гедель, - основывается на недоказуемых допущениях, которые не являются аксиомами. И продемонстрировал доказательство, которое никто не смог опровергнуть. Фигасе, математика не может быть целиком описана на языке формальной математической логики. Это будет пострашнее, чем большие и меньшие бесконечности. Нет? Тушите свет.

Но не успокоился Алан Тьюринг. В 1936 году он опубликовал работу, в которой подтвердил вывод Геделя, но на примере теоретической машины, которая должна была вычислить ответ, когда остановится программа этой машины, последовательно перебрав все доказательства. Оказалось, что вычислить ответ с помощью формальной математической логики невозможно. И диагональный аргумент Кантора пригодился Тьюрингу в этом доказательстве.

Тьюринг решал фундаментальную математическую задачу, которая оказалась неразрешимой. Но у него параллельно получилась универсальная программируемая вычислительная машина. Более того, в тексте работы Тьюринга Джон фон Нейман увидел полностью готовый код для программирования такой машины. Посмотрите на устройство, на котором вы читаете этот текст. Вот эту штуку придумал Тьюринг и воплотил фон Нейман. А началось все с диагонального аргумента Кантора, который тот придумал, чтобы доказать существование Бога. И от въедливости Рассела, который это заметил. Deus ex machina, воистину!

Photo by Roman Mager on Unsplash